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关于反应扩散方程在经济数学中的探究

作者:2017-06-14 17:44文章来源:未知
  引言
  反应扩散方程是反映相关变量与时间空间变量相互关系的等式。在解决实际问题过程中人们经常采用以常微分方程构建的数学模型来模拟并研究其解决方法。随着研究问题的深入和实际问题复杂化,常微分方程构建模型局限性加大,有时需偏微分方程来解决一些问题,但在利用偏微分方程解决问题时过程很复杂,计算量很大。如果我们利用反应扩散偏微分方程来解决这些问题,可以使其简单化。
  一、反应扩散方程
  数学上通常把半线性抛物型方程叫做反应扩散方程。其中u 表示某种意义下的浓度,x 表示空间变量,
  Δ 为laplace 算子。
  二、反应扩散方程的行波解
  由于反应扩散方程涉及到很多经济数学中的数学模型,因此具有广阔的应用背景,其行波解引起了各个领域的兴趣。下面我们来讨论一下方程行波解的存在性。
  上面方程的行波解是指u(x,t)=u(x-ct)=u(z)的解,上面方程行波解的充分必要条件是
  2
  2 d u c du u(1 u) 0
  dz dz
  + + - =
  假如某种意义下的浓度u(z)单调有界,那么u(z)就是上面常微分方程的波前解。
  例如设:
  2
  1
  c
  Î=
  ,
  1
  w =Î2 z。前面的反应扩散方程变为
  2
  2 d u du u(1 u) 0
  dw dw
  Î + + - =
  给定的边界条件是 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
  令可得到
  因此,反应扩散方程的波形解是存在的。
  三、反应扩散偏微分方程
  2
  2 u u u(1 u)
  t x
  ¶ ¶
  = + -
  ¶ ¶
  u(-¥) =1,u(0) = a(0 < a <1),u(¥) = 0
  b ln1 a
  a
  -
  =
  2
  0 1 2 2
  ( ) 1 , ( ) ln (1 )
  1 (1 )2 (1 )
  偏微分方程在经济数学中有很重要的作用,很多经济数学问题靠偏微分方程迎刃而解。
  先给出反应扩散偏微分方程的经典形式。函数u(x, y,t) ,满足下面反应扩散偏微分方程
  初始条件为0 u(x, y,0) = u (x, y),(x, y)ÎW
  边界条件为u(x, y,t) = g(x, y),(x, y)ζW,tÎ(0,T]
  其中0u (x, y), g(x, y)为已知函数,
  2 2
  x2 y2
  ¶ ¶
  D = +
  ¶ ¶
  是拉普拉斯算符子,
  u(x, y,t)是未知函数。
  我们把径向函数插值无网格法特解方法应用于上面的方程。设dt = tl+1 - tl为时间步长,对于任意的tI +1 £ t £ tI和0 £q £1,把q -应用到u(x, y,t),可以近似写成下式
  u(x, y,t) ;q u(x, y,tl+1) + (1-q )u(x, y,tl )
  令ul (x, y) º u(x, y,tl ),得到下列方程
  ul 1 1 (ul 1 ul ) 1 (ul ul ) ul 1
  dt
  q b b
  q a q a a
  + + - +
  D = - - + -
  若uI +1(x)为偏微分方程的解,上式右边设为F(x, y),上式是标准的Pisson 方程ul+1 = F(x, y)。若 F(x, y) 已知,假设插值点共有 (L - 3) 个,在每点 ( , ) i j x y ,(i =1,2,3,L,L - 3),应用配置点得到F x y l f r l x l y l
  -
  - -
  =
  ;å + + +
  其中,根据限制条件可得出
  3 3 3
  1 1 1
  0
  L L L
  l l l
  j j j j j
  j j j
  l l x l y
  - - -
  = = =
  å =å =å =
  则近似函数u(x, y)有下列这样的形式
  1 1
  1
  ( , ) ( )
  l
  l l
  j j j
  j
  u + x y l + r
  =
  ;å F
  其中满足
  ( , ) ( , ) j j DF x y =f x y
  在这里使用径向函数MQ 和TPS 计算得到
  2 2 3
  2 2 2 2
  2 2 2 2
  2 3
  4
  ( , ) ( ) ln( ( ))
  9 3
  ( , ) 1 ln( ) 1
  4( 1) 4( 1)
  j
  j j j
  m m
  k k k
  c r c xy r c c r c
  x y r r r
  m m
  + +
  +
  F = + - + +
  F = -
  + +
  变为矩阵形式
  [ ]l [ ]l u = A l
  通过上面的分析就可以利用反应扩散方程求解偏微分方程。反应扩散偏微分方程能够提高解决问题的效率。
  四、结语
  经济数学具有很强的实践性和运用性,经济数学的研究方法应用在物理、化学等自然科学领域,甚至与像经济这样的社会科学也有紧密的联系。经济数学为这些学科的发展起到了重大的推动作用。利用建立的数学模型使得经济研究更加精密准确,实用性更强。为我国的经济发展做出更大的贡献。
 

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